Fin del blog

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Una fórmula para evaluarlos a todos

Originalmente publicado en enpelotas.com.

Desde que asistía al liceo, me preocupó el asunto de que, en las evaluaciones con un porcentaje de exigencia superior al 50%, los profesores aplicaran dos fórmulas y, por ende, dos rectas, para construir la escala de notas. Esto me parecía injusto por el simple hecho de que se aplicaban dos escalas diferentes a un mismo grupo de alumnos sometidos al mismo instrumento. Si un grupo de alumnos estudia los mismos contenidos y es sometido a un mismo instrumento de evaluación, debería ser evaluado con un solo y mismo criterio: no con dos. Así que me decidí finalmente, cuando ya estaba en la universidad estudiando pedagogía, a encontrar una manera de resolver este error.

Presumí que la forma más apropiada de fundir los dos criterios de evaluación en uno solo sería distinguir los tres puntos que ambos criterios tienen en común, esto es, la nota mínima (1,0), la nota de aprobación (4,0) y la nota máxima (7,0). Luego tenía que ubicarlos en el plano cartesiano con sus correspondientes puntajes. Así, distinguí los puntos A (0, 1), B (pn/100, 4) y C (n, 7), donde p es el porcentaje de exigencia y n es el puntaje máximo del instrumento. Desde ellos, calculé una curva que, sin importar las variables, siempre pasa por los puntos A, B y C y di con la «fórmula general de evaluación» (FOGE): ((30.000–600p) / (p²n² — 100pn²))x² + ((6/n) — ((30.000–600p) / (p²n — 100pn)))x + 1 = y, donde x es el puntaje obtenido por cada alumno.

Al aplicarla, no obstante, noté que esta fórmula tiene un comportamiento inesperado. Nuestra escala evaluativa parte en la nota 1,0 y llega a 7,0: no puede haber notas inferiores a 1,0 ni superiores a 7,0. Además, las notas deben ir aumentando siempre, no aumentando o disminuyendo de manera alternativa. Resulta que la FOGE arroja notas fuera de la escala cuando 25 ≤ p ≤ 75. Y, además, la escala no es «monódroma», es decir, sus notas no van en ascenso constante cuando 25 ≤ p ≤ 75. Así que me encontré con que esta fórmula, aunque útil, está limitada. Conseguí, por cierto, fundir los dos criterios en uno solo, pero no de manera universal. No hay muchos profesores, ciertamente, que apliquen un porcentaje de exigencia superior al 75%, pero sí los hay: a mí me aplicaban el 80% en las asignaturas de competencia comunicativa escrita. Y, en estos casos, la FOGE resulta inaplicable.

No he encontrado una solución, pero asumo que la hay. Creo que no la puedo encontrar solo a causa de mis limitados conocimientos matemáticos, así que espero hallar a alguien que sí sea capaz de calcular una curva que pase por los puntos A, B y C manteniéndose en los confines de 1 ≤ y ≤ 7 con una trayectoria «monódroma». Por el momento, la FOGE resulta útil en la mayoría de las situaciones e incluso cuenta con un programa en línea que permite su aplicación desde cualquier dispositivo conectado a Internet. Pero tengo la esperanza de que podrá ser corregida y fijada en una forma que no admita errores.

FOGE abreviada — 50% & 60%

La magnitud de la Fórmula General de Evaluación la hace prácticamente inaplicable en un contexto real de evaluación, que requiere agilidad y rapidez. Aun cuando Nicolás se ha preocupado de desarrollar herramientas (programas) que permitan aplicar de forma instantánea la FOGE, ellas no estarán disponibles en todos los escenarios que el profesor enfrente. Así que resulta apropiado contar con fórmulas abreviadas de la FOGE para aplicar en las evaluaciones con los criterios más comunes, esto es, cincuenta y sesenta por ciento de exigencia.

En el caso de un criterio del 50%, debemos multiplicar el puntaje obtenido (x) por seis (6) y dividirlo por el puntaje máximo (n). La cifra resultante es aumentada en uno (+1) y, así, obtenemos la calificación (y). Esto se expresa simbólicamente de esta manera:

En el caso de un criterio del 60%, más común en mi experiencia, debemos multiplicar el puntaje obtenido al cuadrado (x²) por cinco (5) dividido en el doble del puntaje máximo al cuadrado (2n²). A esta cifra le sumamos el puntaje obtenido (x) multiplicado por siete (7) dividido en el doble del puntaje máximo (2n). A la suma de estos, añadimos uno (+1) y habremos obtenido la calificación (y). Esto se expresa simbólicamente así:

Para conveniencia del profesor, esta fórmula se puede reducir aún más reemplazando la incógnita del puntaje máximo (n) con el número que le corresponda en una evaluación concreta. Por ejemplo, en septiembre dicté un curso sobre literatura moderna y apliqué instrumentos cuyo puntaje máximo era cien. De esta manera, pude reducir la fórmula del 60% a otra mucho más sencilla en la que el puntaje obtenido al cuadrado (x²) es dividido por cuatro mil (4.000); a esta cifra se añade siete veces el puntaje obtenido (7x) dividido por doscientos (200); por último, se suma uno (1) y se obtiene la calificación (y). Así:

Resulta muy útil, por cierto, tener estas fórmulas anotadas en el cuaderno de planificación y evaluación o incluso en el libro de clases para que cualquier profesor pueda acudir a ellas cuando las necesite. La virtual inaplicabilidad de la FOGE con lápiz y papel, aun cuando no implica complejidad, hace necesario tener disponibles estas versiones abreviadas para los criterios del 50% y del 60% y para el criterio de 60% con puntaje máximo 100.

Calculador en línea

El año pasado, antes de haber publicado la entrada sobre cómo responder preguntas abiertas, le solicité a Nicolás que desarrollase una versión nueva del Calculador FOGE. Esta nueva versión debería poder ser exportada fácilmente a MS Excel, considerar rangos diferenciados de puntaje y funcionar en una página web. Él no tuvo tiempo para programar esta versión entonces, pero recientemente (hace menos de dos semanas) me remitió un prototipo y preparó la versión definitiva un día después. Incluí esta nueva versión en la lista de programas y quedó disponible desde entonces para ser utilizada con facilidad por cualquier persona con acceso a Internet desde un computador o desde un teléfono.

Otros calculadores de notas han estado disponibles en línea desde hace unos quince años o quizá más tiempo, pero naturalmente ellos no cuentan con las virtudes del Calculador FOGE: la escala unitaria por encima de todas. Así que este era un paso necesario, aunque algo tardío. De todas maneras, el trabajo se hace con dedicación y no puede estar listo antes de que hayamos invertido esfuerzo suficiente en él.

Cómo responder preguntas de desarrollo

Uno de los problemas que he enfrentado con la evaluación de mis alumnos es que muchas veces ellos no logran obtener el puntaje máximo de una pregunta de desarrollo. El criterio para medir el logro de los alumnos tiene dos ejes: uno es la coherencia de las respuestas y el otro es que la respuesta conteste efectivamente lo que se está pidiendo en la pregunta o instrucción. El criterio de la coherencia es ampliamente satisfecho por los alumnos en la mayoría de los casos, salvo contadas excepciones. Desafortunadamente, no ocurre lo mismo con respecto al criterio de la pertinencia.

El principal escollo parece estar en la incomprensión del alumno con respecto a lo que se espera que conteste. En varias oportunidades, alumnos frustrados me han dicho que no saben lo que yo espero de sus respuestas, que creen haber respondido lo que es requerido por la pregunta o instrucción, o que no entienden lo que está siendo solicitado.

Si bien me parece que esta es una oportunidad para que los alumnos mejoren sus escasamente ejercitadas habilidades de redacción, me preocupa que no sean capaces de entender una instrucción explicada en varias ocasiones y de distintas maneras o que incluso no puedan mejorar su desempeño cuando les doy la oportunidad de mejorar las respuestas insuficientes que ya me han entregado en una primera oportunidad.

Como el conocimiento (contenido conceptual) está accesible por escrito durante la evaluación relevante, el problema no está causado por la imposibilidad de acceder a él físicamente. Me quedan, pues, dos opciones: 1) que los alumnos tengan problemas para comprender el texto que explica el contenido conceptual o 2) que los alumnos tengan problemas para llevar a cabo las operaciones reflexivas que requieren la satisfacción de los solicitado en las preguntas e instrucciones del instrumento evaluativo.

Ambos problemas se resuelven, por supuesto, ejercitando las habilidades respectivas. Para la comprensión de lectura, ampliando el conocimiento léxico y ejercitando el análisis morfosintáctico. Para las operaciones reflexivas, los ejercicios de lógica y de argumentación. Lo complicado de esta solución es que sus resultados son visibles en el largo plazo: las habilidades implicadas en ella no se adquieren de forma instantánea. De todas maneras, la corrección de los errores cometidos en las respuestas originales ayuda, aunque mínimamente, a ejercitarlas. Más aún, hace que el alumno tome conciencia del proceso y, por ende, pueda acelerarlo.

Puede resultar frustrante para un alumno no darse cuenta del error que está cometiendo y de que su primer intento por corregirlo no resulta en una evaluación mejor que la original (o solo la mejora levemente). No obstante, esa actividad, aunque parezca infructuosa, tiene un efecto positivo sobre el mejoramiento de las habilidades susodichas (comprensión lectora y operaciones reflexivas). Como el alumno no está consciente de este proceso y, más encima, se siente frustrado a causa del escaso éxito que ve en su esfuerzo por mejorar, resulta conveniente decirle explícitamente que la actividad le está ayudando, aunque sea de forma invisible, y que ella le ha hecho dar un paso adelante en el mejoramiento de su comprensión lectora y de sus operaciones reflexivas: las habilidades necesarias para responder exitosamente las preguntas e instrucciones de desarrollo en los instrumentos evaluativos.

Combatir la frustración es tan importante como ejercitar las habilidades cognitivas de los alumnos, puesto que la motivación emocional conduce toda la actividad corporal y mental de una persona.

La tiranía del Ministerio de Educación

Desde hace ya varios años que el Ministerio de Educación persigue a todo profesor y establecimiento de enseñanza básica o media que se atreva a aplicar criterios de evaluación objetivos y aplique la nota mínima (1,0) a los alumnos que hayan obtenido cero (0) puntos en un instrumento de evaluación. A causa de lo anterior, hay establecimientos donde la nota mínima de facto es dos (2,0) y no el uno (1,0). Esta situación ha contraído complicaciones adicionales a los ya problemáticos cálculos de las escalas de notas. Como los establecimientos pretenden equilibrar el problema creado por el Ministerio de Educación, aplican un criterio del 60% para que cada alumno pueda aprobar el instrumento aplicado, lo que hace más desafiante alcanzar la nota cuatro (4,0). Más aún: con el objetivo de mostrar evaluaciones equilibradas, aunque no sean fieles a la realidad, toman la decisión de promediar el puntaje máximo del instrumento con el puntaje más alto obtenido en un curso específico, lo que termina por arruinar la aplicación del criterio en un 60% de exigencia. Esto usualmente refleja una pugna entre profesores que quieren exigir esfuerzo a sus alumnos y jefes de UTP que buscan obtener resultados positivos sin importar que estos reflejen la realidad o no.

Representación gráfica del imperio que el Ministerio de Educación aspira a ejercer sobre los establecimientos educacionales.

El problema adviene cuando un investigador pretende conocer el puntaje de logro real de los alumnos en evaluaciones aplicadas en los establecimientos. Una situación como esta es la que enfrento actualmente y que me ha obligado a seguir las huellas de quienes aplicaron las evaluaciones para encontrar el rendimiento real de sus alumnos, descartando lo que tan pomposamente aparece escrito en los libros de clase. En primer lugar, pues, hay que tener conocimiento de las fórmulas erradas que utilizan los profesores para calcular sus escalas de notas. Como estas escalas transgreden el principio de igualdad ante la ley, son dos y no una sola: una para quienes hayan obtenido un 60% del puntaje (convenientemente ajustado) y otra para quienes no hayan alcanzado este porcentaje de respuestas correctas. Imaginemos la primera escala como una recta en el plano que pasa por los puntos A (3n/5, 4) y B (n, 7): la ubicación de x en el punto A se explica porque la nota cuatro (coordenada y del punto A) debe coincidir con el 60% del puntaje total del instrumento (n), lo cual puede calcularse multiplicando n por tres y dividiendo el resultado por cinco: así obtendremos los tres quintos (60%) de n, que son el puntaje mínimo requerido para obtener una nota aprobatoria (4,0). La ubicación de x en el punto B es más clara: el puntaje total del instrumento (n) debe coincidir con la nota máxima de la escala evaluativa (7,0). La ecuación que representa esta recta es la siguiente:





Esto quiere decir que la fórmula para calcular las notas aprobatorias en una escala que va del dos (2,0) al cuatro (4,0) con un 60% de exigencia es la siguiente (y es igual a la nota obtenida por el alumno):

En el caso de quienes no han alcanzado el porcentaje de exigencia mínimo para aprobar el instrumento, debemos imaginar una recta que pasa por los puntos C (0, 2) y D (3n/5, 4). La ecuación de esta recta es como sigue:

Esto significa que la escala para calcular las notas insuficientes en una escala que va del dos (2,0) al cuatro (4,0) con un 60% de exigencia es la siguiente (y es igual a la nota obtenida por el alumno):

Conocidas las dos fórmulas necesarias para construir esta curiosa escala, podemos hacerlo cómodamente. Si Vd. quiere ahorrarse este extenuante trabajo, le recomiendo visitar el sitio web de Juan Pumarino, quien no declara qué fórmulas usa, pero cuyos resultados se corresponden con la aplicación de las fórmulas susodichas. También ofrece la posibilidad de construir las escalas con sendas aplicaciones (programas) móviles para Android e iOS.

En segundo lugar, tenemos pendiente la tarea de descubrir el porcentaje de logro real obtenido por los alumnos. La primera señal de que una evaluación puede estar alterada es la ausencia de la nota siete (7,0): esto significa que absolutamente ninguno de los alumnos obtuvo el puntaje total del instrumento aplicado y que, por lo tanto, el profesor puede haber promediado este puntaje total con el puntaje más alto ocurrido en el grupo. Si conocemos el puntaje total del instrumento y la nota obtenida por el alumno; pero no tenemos certeza acerca del puntaje obtenido por el alumno, podemos hacer una verificación sencilla sobre la base de las fórmulas expuestas arriba. Primero, debemos tener construida la escala de evaluación para contrastar con ella el resultado que obtengamos de nuestro cálculo. Luego, debemos invertir el orden de la ecuación para notas aprobatorias, de manera que la equis quede aislada:

Si nuestro cálculo arroja un resultado distinto del que muestra la escala, podemos tratar de encontrar el puntaje máximo aplicado finalmente en la evaluación usando una de dos fórmulas posibles: una para notas iguales o superiores a cuatro (4,0) y otra para notas superiores a dos (2,0) porque no es posible llegar a ningún resultado si equis es igual a cero. El problema de este método es que debemos conocer el puntaje obtenido por el alumno para aplicarlo. Si trabajamos con la nota (y) y puntaje (x) de un alumno que obtuvo nota cuatro (4,0) o superior, diremos que:

Si trabajamos, en cambio, con la nota (y) y puntaje (x) de un alumno que ha obtenido una nota inferior a cuatro (4,0), pero superior a dos (2,0), deberemos afirmar que:

De todas maneras, como es muy posible que no contemos con todos los datos necesarios (especialmente con el del puntaje obtenido originalmente por el alumno), podemos darnos la libertad de presumir que el puntaje total del instrumento ha sido promediado con el puntaje más alto de entre los alumnos de un mismo curso. Una alternativa arriesgada y extravagante es preguntarle al profesor que aplicó la prueba si acaso llevó a cabo este procedimiento u otro similar. Si él nos confirma que promedió el puntaje total con el puntaje más alto obtenido; pero aún así no podemos conocer el valor de este, seguiremos el siguiente método para descubrirlo. En primer término, calcularemos el puntaje más alto obtenido en un curso (sobre la base de la nota más alta registrada) utilizando la siguiente fórmula (que se encuentra al aislar x y reemplazando n por [x+n]/2):

A continuación, deberemos promediar el resultado (x) con el puntaje total del instrumento (n). El resultado será un puntaje ajustado (n') sobre la base del cual calcularemos una escala de notas. Esta escala contendrá las notas ajustadas que ya conocemos, de modo que podremos utilizarla para identificar el puntaje correspondiente a cada nota y, por ende, el puntaje obtenido por cada alumno. Una vez que hemos deducido el dato de los puntajes alcanzados por cada alumno, podemos reconstruir la escala de notas sobre la base del puntaje total original (n). Otra posibilidad es que, en lugar de reconstruir la escala de notas, calculemos el porcentaje de logro de cada alumno, conociendo su puntaje obtenido, sobre la base del puntaje total del instrumento (n). La forma de calcular esto es sencilla: (x*100)/n.

De esta manera, habremos recuperado los datos originales del rendimiento de los alumnos en una evaluación. Asimismo, evitaremos usar las notas asignadas por el profesor: estas notas están erradas por varias razones. La adecuación del dos (2,0) como nota mínima, la utilización de dos fórmulas en lugar de una para calcular la escala y el ajuste del puntaje total del instrumento son las causas más inmediatas de la poca confiabilidad de las evaluaciones registradas en los libros de clase. La forma de corregirlas es manteniendo el uno (1,0) como nota mínima, utilizando una sola fórmula para construir la escala de notas (obviamente hay que usar la FOGE) y no ajustando el puntaje total del instrumento. Estas buenas prácticas ayudarán a conseguir avances reales en cuanto a la calidad de la educación, puesto que contrarrestan un conjunto de medidas que arruinan y perpetúan la mediocridad en las salas de clases.

El método de Hernán Pérez y Gabriel Díaz

Hernán Pérez es profesor de lingüística en la Universidad de Concepción. O lo era hasta hace cinco años, cuando actualizó por última vez su página web personal. Podríamos presumir que sigue siendo profesor allí a causa de que su página sigue publicada. Hernán Pérez, pues, propone, junto con Gabriel Díaz, un método para calcular notas y lo ha publicado en Internet, ofreciendo tanto un formulario para resolver notas particulares como las fórmulas con las que estas notas son calculadas. Una fórmula es para calcular las notas aprobatorias y consiste en que la nota aprobatoria es igual al conjunto de la nota máxima aprobatoria (7,0) menos la nota mínima aprobatoria (4,0) partidas por el puntaje ideal (máximo) menos el porcentaje de exigencia (criterio), multiplicado por el conjunto del puntaje obtenido por el alumno menos el porcentaje de exigencia (criterio), más cuatro. La otra fórmula es para calcular notas reprobatorias y consiste en que la nota reprobatoria es igual al conjunto de la nota mínima aprobatoria (4,0) menos la nota mínima reprobatoria (1,0) partidas por el porcentaje de exigencia (criterio), multiplicado por el puntaje obtenido por el alumno más uno. Estas fórmulas se representarían de la siguiente manera de acuerdo con mi criterio, asignando la incógnita n al puntaje ideal (puntaje máximo), la incógnita p al porcentaje exigido (criterio), la incógnita x al puntaje obtenido por el alumno y la incógnita y a la nota: tal como hago en la FOGE.

Fórmula de nota aprobatoria:

Fórmula de nota reprobatoria:

La Fórmula General de Evaluación que calculé hace ya casi diez años se funda sobre la base de tres criterios: 1) que la escala de evaluación debe ser unitaria, 2) que la escala debe contener valores entre 1,0 y 7,0, estos inclusos, y 3) que la escala de evaluación puede representarse en el plano cartesiano. Las fórmulas de Hernán Pérez y Gabriel Díaz ciertamente cumplen con los criterios 2do y 3ro de la FOGE; pero, precisamente porque son dos y no una, fallan en relación con el 1ro.

Una evaluación objetiva y justa exige que el mismo criterio sea aplicado a todos los alumnos. En otras palabras, que la escala de evaluación sea unitaria. El fundamento de este criterio se remite al derecho de igualdad ante la ley: todos los alumnos deben ser sometidos al mismo instrumento de evaluación para asegurar que no hay privilegios ni desventajas entre ellos. Si uno teme que pueda haber excesiva desventaja de alguno, esta solo puede corregirse enseñando más, no manipulando mañosamente el instrumento de evaluación o el criterio para obtener las calificaciones. Una excesiva ventaja no debería ser nunca entendida como un problema para corregir, sino como una oportunidad para aprovechar: tratar de limitar el desarrollo de un alumno dotado sería excepcionalmente perverso.

Por lo tanto, resulta improcedente que se utilicen dos fórmulas en lugar de una sola para medir los resultados de los alumnos. Se trata de un error en el plano moral y en el plano académico, porque muestra resultados falsos y porque aplica criterios variables, corrompiendo el principio de igualdad ante la ley.

Es un hecho que muchos profesores en Chile utilizan este método u otros similares, aplicando escalas distintas para aquellos alumnos que obtienen notas reprobatorias y notas aprobatorias. Lo correcto, no obstante, es aplicar una sola escala para todos ellos, asegurando así la uniformidad en la evaluación y la igualdad entre los evaluados.